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庞加莱对自守函数的研究促使分析、几何、代数等领域进一步统一，奏响了19世纪末数学的华彩乐章（参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》）。这一理论作为核心“动机”，更是在20世纪数学的宏大交响中展开了波澜壮阔的“变奏”：从世纪初的单值化定理到费马大定理和朗兰兹纲领，再到多复变函数与低维拓扑学的研究，自守函数孕育的思想超越了古典形式，持续迸发活力。庞加莱的智慧光芒，始终在人类宏大的知识图景中闪耀。
撰文 | 金威经由前文《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》，我们重温了庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）在自守函数领域的创造性突破。庞加莱和克莱因（Felix Klein，1849-1925）的自守函数研究，在19世纪末一统分析、代数和几何等数学几大领域，展现了数学在多样性背后的统一性（参考文献见[1]-[15]）。而在此基础上，又涌现出诸多丰富多彩的问题和理论。
在此文中，笔者将不揣浅陋，初步地梳理和介绍其中的几个有代表性的方向。由此管中窥豹，我们可以欣赏到如下的图景。首先，在庞加莱的数学交响曲中，自守函数这一核心“动机”在20世纪初的单值化定理中完成初步的展开。此后，它并未止步于古典形式，而是通过现代数学的复调演绎——从数论中神秘的千古之谜（费马大定理）和大统一（朗兰兹）纲领，到多复变函数论和数学物理中的迷人应用，再到三维流形理论中拓扑与几何的对位共鸣——不断获得新的演进维度。
正如音乐动机在不同乐章中的变奏与再生，自守函数“动机”在20世纪数学的各个领域中持续演绎发展并多重奏鸣，呈现出理论数学优美而宏伟的时空结构。
1自守函数理论“大统一”的尾声：单值化定理单值化定理起源于对复变函数中“隐函数”的参数化。例如，对代数函数𝐹(𝑧, 𝑤) = 𝑧2 + 𝑤2−1，其所对应的黎曼面为Σ = {(𝑧, 𝑤)|𝑧2 + 𝑤2 = 1}（即实数平面上单位圆周的“复化”）。这个黎曼面至少可以用以下两种方式参数化：第一种是令图片
；第二种是令𝑧 =cos 𝑡, 𝑤 = sin 𝑡（但是这种参数化方式并不能较好地容纳无穷远点，只能将其作为本性奇点）。无论如何，方程𝐹(𝑧, 𝑤) = 0给出的是𝑤作为𝑧的“隐函数”，而将其变为“参数方程”𝑧 = 𝑧(𝑡),𝑤 = 𝑤(𝑡) 的形式，即将其参数化，就是“单值化”（uniformization）一词最早的含义。在此例中，𝐹(𝑧, 𝑤)分别被有理函数和三角函数所“单值化”。这种单值化过程相当于给出了从参数化映射的定义域图片
到函数/方程𝐹的黎曼面Σ的全纯映射。其大致逻辑是：首先，参数化给出映射图片
，因为满足限制条件𝐹(𝑧, 𝑤) = 0，所以这个映射的象在Σ上，故𝑓1可以看成𝐷 → Σ的映射，而考虑到𝑓1有时存在的周期性（如上一段中的第二种参数化方式，以2π为周期），如果Γ是这个周期对应的群，它离散地作用在𝐷上，则最终我们得到了一个映射𝑓2:𝐷/Γ → Σ。一般而言，𝑓2往往是解析同胚。图片
图1在这种参数化的意义下，根据当时熟知的结论和庞加莱、克莱因等人的工作，对代数函数的黎曼面Σ，如果其亏格为0，则可以用有理函数单值化；如果亏格为1，则可以用椭圆函数单值化；如果亏格大于等于2，则可以用自守函数单值化。如果去掉黎曼面是“代数的”这个条件，而从更加几何和拓扑的观点出发，我们需要考虑其万有覆叠空间图片
，则有覆叠映射图片
，它是共形映射。庞加莱和寇贝（Paul Koebe，1882-1945）在1907年证明了单连通情形下的单值化定理：单连通、连通的黎曼曲面
图片
必定共形等价于以下三种“标准”复空间之一：（1）扩充复平面图片
；（2）复平面图片
；（3）复平面上的开单位圆盘图片
。这解决了单变量下的希尔伯特第二十二问题：“用自守函数将解析函数单值化”。图片
图2综上所述，我们实际得到了图2的交换图表。其中图片
是𝐷的万有覆叠空间，图片
是黎曼面Σ的万有覆叠空间，映射𝑝和π分别是各自的万有覆叠映射。上下两行中的两个映射𝑓与图片
，前者由单连通情形下的单值化定理给出，后者则对应之前图1中的𝑓2，它们都是共形等价。这对应一般情况下的单值化定理：任意连通黎曼面Σ，必定共形等价于以下三种情形之一：（1）扩充复平面
图片
；（2）复平面ℂ，或复平面ℂ去掉零点（等价于ℂ/ℤ），或ℂ在一个格点群Λ离散作用下的商空间；
（3）图片
，其中图片
为复平面上单位圆盘（双曲圆盘），Γ是双曲圆盘等距群的离散子群，它自由地作用在图片
上，即我们的老朋友“富克斯群”。建立单值化定理，是单复分析理论的一个高峰，它进一步统一了数学中的分析、代数、几何、拓扑几大领域（并可兼涉数论），见图3。然而，在历史上，以上陈述中所涉及的抽象黎曼曲面的定义，其实比单值化定理本身出现得更晚：它是由外尔（Hermann Weyl，1885-1955）在寇贝工作的基础上，在《黎曼曲面的概念》（1913）一书中给出的。根据拓扑学中的曲面分类定理，任何紧可定向曲面都同胚于有限亏格、有限个边界的闭曲面。而单值化定理实际上指出：如果考虑复结构，则任意（有限类型的）复曲线不仅是同胚于，而且必共形等价于作为“标准复空间”（图片
）在群作用下的商曲面。在几何观点下，这三类“标准复空间”分别可以赋予球面几何、欧氏（平面）几何和双曲几何，这三种几何都是“全局对称的”，被称为齐性几何，它们分别具有常曲率+1、0、-1。这就把所有的闭可定向曲面赋予了几何结构，并从几何上将它们分成了三大类：球面，具有球几何；环面，具有欧氏几何；亏格大于等于2的曲面，具有双曲几何。如果去掉“闭”条件，而改为具有有限个边界并挖掉有限个点的曲面，结论依然成立。并且，在这三种齐性几何结构中，双曲结构是最普遍（如果等概率地随机选取亏格、边界和所挖掉的点的数目，则所选出的曲面有双曲结构的概率为1）而又最复杂的。图片
图3 不同颜色表示不同领域：红色—几何；黄色—代数；蓝色—拓扑；绿色—分析，下同。数学家们自然地提出了如下问题：在更高维数下，还有与之类似的情况吗？
在第三部分我们将会看到，在三维世界中，仍然可以有类似的联系，而且在相当长的时间内，双曲几何和克莱因群的理论是三维流形拓扑学的主要工具之一。证明单值化定理，除对代数函数情形可以使用自守函数理论证明之外，对一般情形大都需要用到分析学中的工具，如（严格化之后的）狄里克莱原理等，后来又陆续发展出Perron方法和热核方法等。相关证明可参考黎曼曲面方面的著作。2数论中的自守函数——费马大定理与朗兰兹纲领在数论方面，经过之后百余年的发展，自守函数和自守形式已成为数论学家必备的常用工具。此处先以费马大定理为例做一展示。在1637年前后，法国职业律师、业余数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）在丢番图的《算术》一书页边上陈述了定理：当𝑛 ≥ 2时，方程𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛没有正整数解，而其证明则因“空白太窄，写不下”，此后两百年间数学家对其进行了很多尝试，在19世纪上半叶之前，费马本人、欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）、热尔曼（Sophie Germain，1776-1831）、狄里克莱（Lejeune Dirichlet，1805-1859）、拉梅（Gabriel Lamé，1795-1870）、库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）等人证明了许多特殊情况。1983年法尔廷斯（Gerd Faltings，1954-）证明了莫德尔猜想，其一个推论就是给定次数下此方程的（本原）整数解只能有有限多组，该工作也使得数学家对证明费马大定理抱有更大希望，而且将目光更多聚焦在几何方法上。随着数论的发展，谷山丰（Taniyama Taniyama，1927-1958）—志村五郎（Goro Shimura，1930-2019）在20世纪五十年代从具体计算出发，和之后的韦伊（André Weil，1906-1998）先后提出了谷山-志村-韦伊猜想，指出有理数域上的任何椭圆曲线都是模曲线，或者说是“被模形式参数化”。此处的“模形式”，实际是上文《19世纪末的数学高峰》“序曲”部分所述模函数的推广，是指在上半复平面上定义的全纯或亚纯函数，满足图片
和一个分析条件（在虚轴的无穷远点处全纯），其中的整数𝑘称为模形式的“权”。我们曾在上文见到过这个条件，其中权为0的亚纯模形式就是经典的模函数。而所谓一条（有理数域上的）椭圆曲线𝐸: 𝑦2 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑被模曲线参数化，其陈述形式之一是存在权相同的模曲线𝑓(𝑧)和𝑔(𝑧)，使得：𝑔(𝑧)2 = 𝑎𝑓(𝑧)3 + 𝑏𝑓(𝑧)2 + 𝑐𝑓(𝑧) + 𝑑，这等价于椭圆曲线𝐸与该模函数具有相同的狄里克莱𝐿级数展开。读者可以看到，此处的“参数化“实质上又是上文中的”单值化”。之后，弗雷（Gerhard Frey，1944-）首先将任意次数的费马方程关联到椭圆曲线，指出：如果𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛有正整数解(𝑎, 𝑏, 𝑐)，那么考虑椭圆曲线𝐸: 𝑦2 = 𝑥(𝑥 − 𝑎𝑝)(𝑥 + 𝑏𝑝)，它不能被模曲线参数化。在1984年弗雷宣布此消息时，听者无不欢欣鼓舞，不过当时在证明中存在一些逻辑漏洞，后在1986年由里贝特（Ken Ribet，1948-）和塞尔（Jean-Pierre Serre，1926-）弥补。当时群情激奋的原因是，弗雷的陈述实际是在说——谷山—志村—韦伊猜想蕴含费马大定理！最后，自小怀揣天真梦想，在青年时期就已在数论领域名声大噪的剑桥的怀尔斯（Andrew Wiles，1953-），经过“面壁”七年并屡遭挫折后，借助代数数论中更加深刻的工具，终于在1995年证明了（半稳定情形下的）谷山-志村-韦伊猜想，并由此宣告证明了费马大定理。在这七年之中，他每半年左右发表一篇小论文以“掩人耳目”，并直至证明完成前夕的1994年，仍因错误尚未完全排除而面临着巨大压力。以上历史过程的大致路线图如下。图片
图4值得注意的是，费马大定理与自守函数理论的关联是双重的。一方面，椭圆曲线实际上就是椭圆函数的黎曼面，而复数域上的椭圆曲线/椭圆函数也是自守函数的经典实例之一（参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》序曲1.1节），当然在这个问题中考虑的是有理数域（而不是复数域）上的椭圆曲线；另一方面，模曲线则是自守函数的推广，而它所符合的代数性质正是庞加莱在构造富克斯函数时所考虑过的“模性”。费马大定理是著名的“朗兰兹纲领”所揭示的更广阔图景的一部分。首先，根据轨道-稳定子定理，双曲上半平面可以看成是商空间图片
，而模群图片
作用于其上，故每个权为𝑘的模形式𝑓可以给出图片
到图片
的表示，定义为图片
（此处i为虚数单位），如果𝑓还是所谓的“尖点形式”，那么𝜑𝑓还属于平方可积函数空间图片
，这样就给出了图片
到图片
的一个群表示图片
。如果这里把群对图片
换为更加一般的李群及其离散子群给出的群对Γ < 𝐺，那么可以类似地得到右正则表示图片
，其子表示称为自守表示，是分析学（如调和分析）所研究的对象。由此可见，自守表示是自守函数的推广。而朗兰兹纲领指出，来源于数论、分析、（代数）几何的三种对象：伽罗瓦表示、自守表示和代数簇的上同调理论，在本质上是统一的[体现为阿廷𝐿函数、自守𝐿函数和哈塞（Hasse）—韦伊𝐿函数的统一性]。它被称为数学的“大统一理论”。图片
图53自守函数在多复变函数理论中的推广与应用略谈庞加莱经过一系列的数学发现，事实上和之后的库辛（Pierre Cousin，1867-1933）、哈托格斯（Friedrich Hartogs，1874-1943）等人开创了多复变函数这个数学领域。尤其是1907年庞加莱发现，二维复空间中的双圆柱图片
不共形等价于单位球图片
，这个结论相当于指出黎曼映射定理对二维复空间不成立，这也说明在多复变函数领域中没有与单复变中单位圆完全相当的区域；与之最相近的区域称为“典型域”，是不可分解对称有界域在全纯等价下分类的标准域。此后，我国数学家华罗庚（1910-1985）尝试将单复变函数中的自守函数推广到多复变函数论领域。他的代表作之一为《多复变函数论中典型域上的调和分析》，并由此在1956年获得我国国家自然科学奖一等奖（当时称为“中国科学院科学奖金”）。他的研究始于上世纪40年代西南联大的艰苦时期。同时，德国数学家西格尔（Carl Siegel，1896-1981）也在研究有界对称域及其几何，他们的研究对冯康（1920-1993）等在辛算法的工作也有重要影响。华罗庚后于1946年在《数学年刊》上发表《多复变函数的自守函数》，成为该领域经典文献。华罗庚于1950年放弃美国的优厚待遇毅然回到新中国，在回国初期，他的研究转入多复变函数典型域上的调和分析，用群表示理论具体构造了典型域上的平方可积全纯函数的完备正交基，并做了很多具体计算，这也使得调和分析领域在60年代变得更加热门。丘成桐（1949-）教授对此的评价是：“（华罗庚教授）在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年。” 华罗庚教授研究的特色是从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂，并重视例子和具体计算（包括对矩阵的大量计算）。华罗庚在典型域上的自守函数和调和分析的研究，还应用到微分方程、数学物理等领域，形成了“华罗庚学派”。我国的陆启铿（1927-2015）、龚昇（1930-2011）、郭汉英（1939-2010）、周向宇（1965-）等学者的研究都受到其很大影响，或与之联系紧密。华罗庚还曾用矩阵方法处理狄拉克算子及其热核自守形式等，它们是后来的指标定理、Seiberg-Witten方程等理论的基础，由此可见华老不凡的学术洞察力。此外，我国数学家李国平（1910-1996）在20世纪50年代访问苏联科学院后，大大发展了法国数学家当茹瓦（Arnaud Denjoy，1884-1974）的工作，与合作者在黎曼—庞加莱的几何观点的基础上系统地发展了常微分方程的解析理论，并将闵可夫斯基函数和自守函数推广到巴纳赫空间上（即“泛函化”，其核心思想是利用庞加莱之前的级数展开进行推广），而且将其用于研究广义积分论、连续介质力学和量子场论等领域，从而推广了苏联穆斯赫利什维利（Никола́й Ива́нович Мусхелишви́ли，1891-1976）学派的相关工作。这是在分析领域，庞加莱自守函数工作的另一变奏与回响。（可参见[16][22]）4自守函数“大一统”的三维版本与低维拓扑学的发展在二维世界中，由于单值化定理和高斯-博内定理等，曲面为代数-球几何/欧氏几何/双曲几何—复几何—拓扑这几种观点提供了共同的舞台，它们在此处交相辉映，五光十色。拓扑学家尝试将这种二维的美妙情景推广到高维。同时，庞加莱本人也是三维流形拓扑学和代数拓扑学的早期开创者。由此，现在数学家要解决的问题是：
（1）以上的二维结果如何推广到三维？（2）在三维情况下，群与流形——具有某种几何的万有覆盖空间的商流形的关系？（3）二维情况与三维情况的联系？在此方面，瑟斯顿（William Thurston，1946-2012）可以看作将庞加莱的思想从多个角度全面进行了推广。我们简述其贡献中的几个方面。第一个方面与泰希米勒（Oswald Teichmüller，1913-1943）空间相关。所谓泰希米勒空间，是指在给定亏格的曲面上，所有“带标记的”复结构或双曲结构（的同痕类）构成的空间。一个亏格为𝑔的双曲曲面，其泰希米勒空间同胚于图片
，或者6𝑔 − 6维的开单位球。瑟斯顿考察了泰希米勒空间的球面边界，证明其边界上的点可以视为原双曲曲面上的一种有时十分复杂的曲线 [即所谓“赋测度片层” (measured lamination）]，由此可以将泰希米勒空间紧化。之后他将此观点用于研究映射类群（mapping class group），并以此证明了曲面自映射的尼尔森（Jakob Nielsen, 1890-1959）—瑟斯顿分类定理。该定理指出曲面自映射分为三类，分别为周期的、可约的和伪阿诺索夫 (pseudo Anosov) 的，其中伪阿诺索夫映射在三维流形理论中扮演了重要角色。他还用双曲几何观点定义了泰希米勒空间上的度量，后来沃尔珀特（Scott A. Wolpert）证明与韦伊-彼得森（Weil-Petersson）度量一致（1986）。第二个方面是所谓几何化定理，它可以被直接地看成单值化定理的直接三维推广。首先，安德烈耶夫（E. M. Andreev）在1970年给出了用锐角四面体剖分给出有限体积双曲流形的方式。此后莱利（Robert Riley，1935-2000）和约根森（Troels Jørgonsen）在1975年发现了八字结补空间的基本群到三维双曲空间的等距群图片
有离散忠实表示。在这些工作的基础上，瑟斯顿用四面体剖分具体构造了八字结补空间上的完备双曲结构（1979年），并由此猜测双曲结构在三维流形中是普遍存在的，并在20世纪70-80年代分别证明在大部分纽结（即非环面、非卫星纽结）的补空间和由伪阿诺索夫映射诱导的圆周的曲面丛上，都有完备且有限体积的双曲结构。进一步地，他提出了一系列猜想，其中最重要的是所谓的几何化猜想，即每个闭的素三维流形都可以沿环面（唯一地）切开成一些块，使得每块上有（有限体积的）八种齐性几何之一。这八种几何是二维情形下三种齐性几何的类似物，包括球几何、欧氏几何、双曲几何的三维版本、或其低维版本的乘积，此外还有三种来自于李群。我们注意到，几何化定理不仅可以看作是单值化定理的三维版本，而且包含三维庞加莱猜想作为其推论。对所谓哈肯（Wolfgang Haken，1928-2022）流形，瑟斯顿在1980年代证明了几何化猜想。而对一般的三维流形，证明则由佩雷尔曼（Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н，1966-）利用里奇流（Ricci flow）技术在2003年完成，并因此获得菲尔兹奖（但拒领）。此外，正如庞加莱用富克斯群研究二维曲面上的数学，瑟斯顿则用克莱因群研究三维双曲流形。在20世纪60-70年代阿尔福斯（Lars Ahlfors，1907-1996）、贝尔斯（Lipman Bers，1914-1993）、克拉（Irwin Kra，1937-）、马斯基特（Bernard Maskit，1935-2024）和马尔登（Albert Marden，1934-）等数学家工作的基础上，他证明了双极限定理、双曲空间形变的紧性等，它们成为了证明瑟斯顿本人证明哈肯流形几何化猜想和之后克莱因群理论的重要工具。正如庞加莱把微分方程、复分析、群论、非欧几何和曲面拓扑学贯通融合，瑟斯顿则将双曲几何、泰希米勒空间、克莱因群和映射类群、叶状结构及其推广、纽结论和三维流形理论等熔于一炉。见下图：图片
图6瑟斯顿的一系列经典文章和讲义成为该领域研究者长期以来的必读材料（如[24]），而他在研究过程中提出的问题也长期推动了低维拓扑学的发展。很有趣的是，与庞加莱类似，瑟斯顿并不太注重表述的形式化，所以他所发现的定理的很多完整证明都是后来由其他数学家所写出的，而其中一些更复杂的证明很多也都使用了更高深的分析工具。在几何化猜想被证明后，低维拓扑领域的发展更加趋向丰富，与三维流形的双曲几何相关的重要猜想有驯顺（tameness）猜想、庶几纤维化猜想、庶几哈肯猜想等等。其中，第一个猜想分别由Agol和Calegari-Gabai在2004年独立证明；后两个猜想则均由Agol在2012年证明。由此可见，与科学与社会历史领域的一切伟大变革一样，庞加莱等数学家的独创性工作的巨大意义和深远影响，只有在更晚的时间才能更充分地看到，这正如鲁迅所引用的叔本华的话：“要估定人的伟大，则精神上的大和体格上的大，那法则完全相反。后者距离愈远即愈小，前者却见得愈大。”致谢：本文感谢刘辛味编辑的支持鼓励。在撰写过程中，作者得到了北京大学北京国际数学研究中心刘毅教授、清华大学丘成桐数学科学中心林剑锋副教授的大力帮助，特此致谢。参考文献
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